BrMO 2 1999

Vraag 1 Opgelost!

Voor ieder natuurlijk getal $n$ definiëren we $S_n$ als de verzameling bestaande uit de eerste $n$ natuurlijke getallen, dat is
$$S_n=\{1,2,3,4,\cdots,n-1,n\}.$$
(i) Voor welke waarde van $n$ is het mogelijk om $S_n$ uit te drukken als unie van twee niet-ledige verschillende deelverzamelingen zodat de elementen in de twee deelverzamelingen dezelfde som hebben?
(ii) Voor welke waarde van $n$ is het mogelijk om $S_n$ uit te drukken als unie van drie niet-ledige verschillende deelverzamelingen zodat de elementen in de drie deelverzamelingen dezelfde som hebben?

Vraag 2

Zij $ABCDEF$ een zeshoek (al dan niet regelmatig), die een cirkel $S$ omschrijft. (Dus is $S$ rakend aan iedere van de zes zijdes van de zeshoek) De cirkel $S$ raakt $AB,CD,EF$ in hun middens, $P,Q,R$ respectievelijk. Zij $X,Y,Z$ de raakpunten van $S$ met $BC,DE,FA$ respectievelijk. Bewijs dat $PY, QZ$ en $RX$ concurrent zijn.

Vraag 3 Opgelost!

De strikt positieve reële getallen $p,q,r$ voldoen aan $p+q+r=1$.
Bewijs dat $7(pq+qr+rp)\leq2+9pqr$.

Vraag 4

Beschouw alle getallen van de vorm $3n^2+n+1$, met $n$ een natuurlijk getal.
(i) Hoe klein kan de som van de cijfers van zo'n getal zijn (in basis 10)?
(ii) Kan zo'n getal 1999 als som van zijn cijfers hebben (in basis 10)?