ongelijkheid

Omdat $p+q+r=1$, kunnen we de ongelijkheid homogeen maken tot $7(p+q+r)(pq+rq+rp) \leq 2(p+q+r)^3+9pqr$. We zullen bewijzen dat deze ongelijkheid waar is voor alle $p,q,r \ge 0$.

Werk het product langs beide kanten uit. Je krijgt: $7(p^2 q+p^2 r+p q^2+q^2 r+q r^2+p r^2+3pqr) $
$\leq 2(p^3 +q^3 +r^3 +3 p^2 q+3 p q^2 +3 p^2 r+3 p r^2+3 q^2 r+3 r q^2+6 pqr) +9 pqr$.

Na vereenvoudiging wordt dit: $p^2 q+p^2 r+p q^2+q^2 r+q r^2+p r^2 \leq 2 (p^3 +q^3 +r^3)$, wat waar is wegens diverse gekende ongelijkheden, bvb. de orde-ongelijkheid, de stelling van Muirhead of AM-GM. Q.E.D.