BrMO 2 1993

Vraag 1

Normaal gezien meten we hoeken in graden, maar we kunnen ook een andere eenheid kiezen. Als we bijvoorbeeld $30^\circ$ als nieuwe eenheid gebruiken, dan zouden de hoeken van een $30^\circ ,60^\circ ,90^\circ $ driehoek respectievelijk gelijk zijn aan 1,2,3 nieuwe eenheden. De tekening stelt een driehoek $ABC$ voor met een tweede ingeschreven driehoek $DEF$. Alle hoeken in de figuur zijn natuurlijke veelvouden van een nieuwe (nog onbekende) eenheid. Hun grootte $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l$ zijn allemaal verschillend ten opzichte van deze nieuwe eenheid. Vind de kleinst mogelijke waarde voor $a+b+c$ voor dewelke zo een dergelijke eenheid kan gekozen worden, en markeer de corresponderende waarden van de hoeken $a$ tot en met $l$ op de tekening.

Vraag 2 Opgelost!

Zij $m=(4^p-1)/3$, met $p$ een priemgetal groter dan 3. Bewijs dat $2^{m-1}$ bij deling door $m$ rest 1 heeft.

Vraag 3 Opgelost!

Zij $P$ een inwendig punt in driehoek $ABC$ en stel
$$\alpha=\angle BPC - \angle BAC, \beta=\angle CPA - \angle CBA, \gamma=\angle APB - \angle ACB$$
Bewijs dan dat
$$PA\frac{\sin \angle BAC}{\sin\alpha}=PB\frac{\sin \angle CBA}{\sin\beta}=PC\frac{\sin \angle ACB}{\sin\gamma}.$$

Vraag 4

De verzameling $Z(m,n)$ bestaat uit allemaal gehele getallen $N$ met $mn$ cijfers die precies $n$ enen, $n$ twee's, $n$ drie's,..., $n$ $m$'s hebben. Voor elk geheel getal $N\in Z(m,n)$ definiëren we $d(N)$ als de som van de absolute waardes van de verschillen van alle paren van opeenvolgende cijfers. Bijvoorbeeld, $122313\in Z(3,2)$ met $d(122313)=1+0+1+2+2=6$. Vind de gemiddelde waarde van $d(N)$ wanneer $N$ alle mogelijke waarden van $Z(m,n)$ aanneemt.