sinusprobleem
Opgave - BrMO 2 1993 vraag 3
Zij $P$ een inwendig punt in driehoek $ABC$ en stel
$$\alpha=\angle BPC - \angle BAC, \beta=\angle CPA - \angle CBA, \gamma=\angle APB - \angle ACB$$
Bewijs dan dat
$$PA\frac{\sin \angle BAC}{\sin\alpha}=PB\frac{\sin \angle CBA}{\sin\beta}=PC\frac{\sin \angle ACB}{\sin\gamma}.$$
- login om te reageren
Oplossing
Beschouw de voetpuntsdriehoek van $\triangle ABC$ uit het punt $P$ (dus: de loodlijnen uit $P$ op de zijden van de driehoek). Noem $X,Y,Z$ het voetpunt op de zijde $BC,AC,AB$ respectievelijk.
Het is niet moeilijk om te bewijzen dat $\angle YXZ=\angle BPC-\angle BAC=\alpha$ (door wat te angle-chasen). Analoog voor hoekpunt $Y$ en $Z$.
Merk op dat $AYPZ$ een koordenvierhoek is (omwille van de rechte hoeken) en $AP$ is een diameter van de cirkel. Dan is volgens de uitgebreide sinusregel $|YZ|=|AP|.\sin \angle BAC$. Dit toepassen op de andere hoekpunten en invullen in het te bewijzen geeft dat
$\frac{|YZ|}{\sin\alpha}=\frac{|XZ|}{\sin\beta}=\frac{|XY|}{\sin \gamma}$
Wat gewoon de sinusregel is in de driehoek $\triangle XYZ$.