BrMO 1 2005

Vraag 1

Paul en Jenny hebben elk een geheel aantal euro's.
Hij zegt tot haar: ''Als je me 3 euro geeft, zal ik $n$ keer zoveel hebben als jij.''
Zij zegt tot hem: ''Als jij mij $n$ euro geeft, zal ik 3 keer zoveel hebben als jij.''
Als je weet dat deze uitspraken waar zijn, en dat $n$ een natuurlijk getal is, wat zijn dan de mogelijke waarden van $n$?

Vraag 2

Zij $ABC$ een scherphoekige driehoek, en $D,E$ de voetpunten van de loodlijnen uit $A,B$ op $BC,CA$ respectievelijk. Zij $P$ het snijpunt van de rechte $AD$ met de halve cirkel geconstrueerd aan de buitenkant van het lijnstuk $BC$, en $Q$ het snijpunt van de rechte $BE$ met de halve cirkel geconstrueerd aan de buitenkant van het lijnstuk $AC$. Bewijs dat $CP=CQ$.

Vraag 3

Bepaal de kleinst mogelijke $n$ waarvoor volgende bewering waar is:
Ongeacht hoe we de elementen van de verzameling $\{1,2,3,...,n\}$ rood of blauw kleuren, er bestaan natuurlijke getallen $x,y,z,w$ in de verzameling (niet noodzakelijk verschillend) die dezelfde kleur hebben en waarvoor geldt dat $x+y+z=w$.

Vraag 4

Bepaal de kleinst mogelijke waarde van de grootste term in een rekenkundige rij van zeven verschillende priemgetallen.

Vraag 5

Zij $S$ een verzameling van rationale getallen met de volgende eigenschappen:
(i) $\frac12\in S$;
(ii) Als $x\in S$, dan ook $\frac1{x+1}\in S$ en $\frac x{x+1}\in S$.
Bewijs dat $S$ alle rationale getallen bevat in het interval $0