BrMO 1 2004

Vraag 1 Opgelost!

Los volgend stelsel van vergelijkingen op
$$ab+c+d=3$$
$$bc+d+a=5$$
$$cd+a+b=2$$
$$da+b+c=6$$
met $a,b,c,d$ reële getallen.

Vraag 2 Opgelost!

$ABCD$ is een rechthoek met $P$ het midden van $AB$ en $Q$ het punt op $PD$ zodat $CQ$ loodrecht staat op $PD$.
Bewijs dat de driehoek $BQC$ gelijkbenig is.

Vraag 3 Opgelost!

Alice en Barbara spelen een spelletje met een pak van $2n$ kaarten, waarbij op elke kaart een natuurlijk getal geschreven staat. De kaarten worden geschud en op een lange rij gelegd met de getallen naar boven. Alice begint, en de meisjes nemen elk om de beurt een kaart van een van de uiteinden van de rij, totdat Barbara de laatste kaart neemt. De score van ieder meisje is de som van de getallen op de kaarten die zij gekozen heeft aan het eind van het spel.
Bewijs dat Alice altijd een score kan halen die minstens zo hoog is als die van Barbara.

Vraag 4

We noemen een verzameling van natuurlijke getallen $\emph{snood}$ als het geen drie opeenvolgende natuurlijke getallen bevat. De lege verzameling, die geen elementen bevat, is ook een snode verzameling.
Vind het aantal snode deelverzamelingen van de verzameling
$$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$$

Vraag 5 Opgelost!

Zij $p,q,r$ drie priemgetallen. Het is gegeven dat $p|qr-1$, $q|rp-1$ en $r|pq-1$.
Bepaal alle mogelijke waarden van $pqr$.