2n kaarten
Opgave - BrMO 1 2004 vraag 3
Alice en Barbara spelen een spelletje met een pak van $2n$ kaarten, waarbij op elke kaart een natuurlijk getal geschreven staat. De kaarten worden geschud en op een lange rij gelegd met de getallen naar boven. Alice begint, en de meisjes nemen elk om de beurt een kaart van een van de uiteinden van de rij, totdat Barbara de laatste kaart neemt. De score van ieder meisje is de som van de getallen op de kaarten die zij gekozen heeft aan het eind van het spel.
Bewijs dat Alice altijd een score kan halen die minstens zo hoog is als die van Barbara.
- login om te reageren
Oplossing
Als de kaarten op een rij liggen, kleur ze dan afwisselend groen en rood en laat de uiterst linkse kaart groen zijn (zodat de uiterst rechtse rood is). We krijgen dus een patroon
groen-rood-groen-rood-...-groen-rood
Beschouw nu de kleur waarvoor de som van de getallen op die kaarten het grootst is (eventueel met gelijkheid), en stel wlog (zvva) dat dit de groene kaarten zijn. Dan moet Alice beginnen met een groene kaart te nemen. Barbara zal genoodzaakt zijn een rode kaart te nemen (ze mag enkel van de uiteindes nemen). Als Alice telkens de groene kaart pakt zal ze uiteindelijk alle groene kaarten hebben en Barbara alle rode. Er zal dus altijd een strategie bestaan zodanig dat Alice een grotere som of een gelijke som heeft.