BrMO 1 2003
Vraag 1 Opgelost!
Gegeven dat
$$34!=295232799cd96041408476186096435ab000000,$$
bepaal de cijfers $a,b,c,d$.
Vraag 2 Opgelost!
De driehoek $ABC$, met $AB
Vraag 3 Opgelost!
Zij $x,y,z$ drie positieve reële getallen zodat $x^2+y^2+z^2=1$.
Bewijs dat $x^2yz+xy^2z+xyz^2\leq\frac13$.
Vraag 4
Beschouw een $m\times n$ rechthoekig raster van punten in het vlak (met $m$ en $n$ natuurlijke getallen groter dan 1). Enkele $k$ van deze rasterpunten zijn rood gekleurd zodanig dat geen drie rode punten de hoekpunten van een rechthoekige driehoek vormen die twee zijden parallel heeft met de zijden van het raster. Bepaal de grootst mogelijke waarde van $k$.
Vraag 5
Vind alle oplossingen in natuurlijke getallen $a,b,c$ van de vergelijking
$$a!b!=a!+b!+c!$$
