diameter

Opgave - BrMO 1 2003 vraag 2

De driehoek $ABC$, met $AB Toon aan dat $BX=CX$ als en slechts als $PQ$ de diameter is van $S$.

Oplossing

Noteer $\alpha = \angle BCX - \angle CBX$ en zij $S$ het snijpunt van $AP$ en $BC$. Dan is $\angle PBQ = \angle PBC + \angle CBX = \angle PAC + \angle BCX - \alpha = \angle SAC + \angle SCA - \alpha = 90 - \alpha$. Bijgevolg is $PQ$ een diameter, als en slechts als $\alpha = 0$, als en slechts als $\angle BCX = \angle CBX$.