BrMO 1 1998

Vraag 1 Opgelost!

Een 5x5 vierkant is verdeeld in 25 eenheidsvierkantjes. Een van de cijfers 1,2,3,4,5 wordt in ieder eenheidsvierkantje geplaatst, op zo'n manier dat iedere rij, kolom en beide diagonalen alle vijf de cijfers exact een keer bevatten. De som van de getallen in de vier vierkantjes net onder de diagonaal van linksboven tot rechtsonder wordt de $\emph{score}$ genoemd.
Toon aan dat de score onmogelijk 20 kan zijn.
Wat is de maximale score?

Vraag 2 Opgelost!

Stel $a_1=19$ en $a_2=98$. Voor $n\geq1$ definiëren we $a_{n+2}$ als de rest bij deling door 100 van $a_n+a_{n+1}$.
Wat is de rest bij deling van $a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{1998}^2$ door 8?

Vraag 3

$ABP$ is een gelijkbenige driehoek met $AB=AP$ en $\angle PAB$ een scherpe hoek. $PC$ is de rechte door $P$, loodrecht op $BP$, en $C$ is een punt op deze rechte aan dezelfde kant ten opzichte van $BP$ als $A$. (Je mag aannemen dat $C$ niet op $AB$ ligt.) $D$ vervolledigt de parallellogram $ABCD$. $PC$ snijdt $DA$ in $M$.
Bewijs dat $M$ het midden is van $DA$.

Vraag 4

Toon aan dat er een unieke rij van natuurlijke getallen $(a_n)$ bestaat die voldoet aan volgende voorwaarden:
$$a_1=1,\ a_2=2,\ a_4=12,$$
$$a_{n+1}a_{n-1}=a_n^2\pm1\text{ voor }n=2,3,4,\cdots$$

Vraag 5

In driehoek $ABC$ is $D$ het midden van $AB$ en $E$ is een van de punten die $BC$ in drie gelijke delen verdeelt, het dichtste bij $C$. Als gegeven is dat $\angle ADC=\angle BAE$, zoek dan $\angle BAC$.