modulorij

Merk ten eerste op dat we de rij enkel modulo 8 hoeven te bekijken, want er geldt dat
$x^2 \equiv (x-100)^2 \pmod 8$ want
\[x^2 \equiv x^2 - 200x + 10000 \iff 200x - 10000 \equiv 0 \pmod 8\] wat waar is.
Dit impliceert dat we $a_{n+2}$ niet hoeven te definiëren als de rest bij deling door $100$, maar gewoon als de som van de vorige termen in modulo 8. Aangezien $a_1 = 19 \equiv 3 \pmod 8$ en $a_2 = 98 \equiv 2 \pmod 8$ hebben we dat de eerste termen in de rij
\[(a_1,a_2,...,a_{16}) = (3,2,5,7,4,3,7,2,1,3,4,7,3,2,5,7)\] zijn
Duidelijk is dat de rij een periode heeft van $12$ (met dus $a_i \equiv a_{i+12} \pmod 8$). En aangezien $1998 \equiv 6 \pmod{12}$, oftewel $1998 = 12 \cdot 166 + 6$ geldt er dat
\[a_1^2 + a_2^2 + ... + a_{1998}^2 \equiv 166(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_12^2) + a_1^2 + a_2^2 + ... + a_6^2\]
en enerzijds is $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2 + a_5^2 + a_6^2 \equiv 3^2 + 2^2 + 5^2 + 7^2 + 4^2 + 3^2 \equiv 1 + 4 + 1 + 1 + 0 + 1 \equiv 0 \pmod 8$. Anderzijds is $a_7^2 + a_8^2 + ... + a_{12}^2 \equiv 7^2 + 2^2 + 1^2 + 3^2 + 4^2 + 7^2 \equiv 1 + 4 + 1 + 1 + 0 + 1 \equiv 0 \pmod 8$. Dus er geldt dat
\[a_1^2 + a_2^2 + ... + a_{1998}^2 \equiv 0 \pmod 8\]