BrMO 1 1995

Vraag 1

Vind het eerste natuurlijke getal waarvan het kwadraat eindigt op drie 4'en.
Vind alle natuurlijke getallen waarvan het kwadraat eindigt op drie 4'en.
Toon aan dat er geen enkel volkomen kwadraat eindigt op vier 4'en.

Vraag 2

$ABCDEFGH$ is een kubus met zijde 2.
(a) Vind de oppervlakte van de vierhoek $AMHN$, als $M$ het midden is van $BC$ en $N$ het midden van $EF$.
(b) Zij $P$ het midden van $AB$, en $Q$ het midden van $HE$. $AM$ snijdt $CP$ in $X$ en $HN$ snijdt $FQ$ in $Y$. Vind de lengte van $XY$.

Vraag 3 Opgelost!

(a) Vind de maximumwaarde van de uitdrukking $x^2y-y^2x$ als $0\leq x\leq1$ en $0\leq y\leq1$.
(b) Vind de maximumwaarde van de uitdrukking $x^2y+y^2z+z^2x-x^2z-y^2x-z^2y$ als $0\leq x\leq1,0\leq y\leq1,0\leq z\leq1$.

Vraag 4 Opgelost!

$ABC$ is een driehoek, met $\angle ACB$ als rechte hoek. De inwendige bissectrices van $\angle BAC$ en $\angle ABC$ snijden $BC$ en $CA$ in de punten $P$ en $Q$ respectievelijk. $M$ en $N$ zijn de voetpunten van de loodrechten uit respectievelijk $P$ en $Q$ op $AB$. Bepaal $\angle MCN$.

Vraag 5

De zeven dwergen wandelen iedere dag op een enkele rij naar hun werk en zingen daarbij hun bekende liedje: "High - Low - High - Low, je krijgt het niet cadeau". Iedere dag maken ze dat er geen drie opeenvolgende dwergen een ofwel stijgende ofwel dalende lijn vormen. Met andere woorden, ze vormen een rij die gaat als op-neer-op-neer-... of neer-op-neer-op... Als ze allemaal verschillende lengtes hebben, hoeveel dagen kunnen ze dan gaan werken als ze er op staan dat ze iedere dag een andere volgorde hebben?
Wat als Sneeuwwitje ook zou meewandelen?