ongelijkheid
Opgave - BrMO 1 1995 vraag 3
(a) Vind de maximumwaarde van de uitdrukking $x^2y-y^2x$ als $0\leq x\leq1$ en $0\leq y\leq1$.
(b) Vind de maximumwaarde van de uitdrukking $x^2y+y^2z+z^2x-x^2z-y^2x-z^2y$ als $0\leq x\leq1,0\leq y\leq1,0\leq z\leq1$.
- login om te reageren
Oplossing
$(a)$
noem de te maximaliseren uitdrukking $A$.
bekijk nu de functie $f(x)=A$. extreme waarden vind je als $f'(x)=0$ ( wat betekent dat $y(2x-y)=0$) of als $x$ een randpunt is,
dus $y=0$ of $2x=y$ of $x=0$ of $1$ .
Doen we nu hetzelfde voor de functie $g(y)=A$, vinden we de extreme voorwaarden $x=0$ en $2y=x$ of $y=0$ of $y=1$ .
Als $x$ of $y$ gelijk is aan $0$ is $A=0.$
In het andere geval moet een waarde gelijk zijn aan $1$ en de ander aan een half.
We vinden dat de uitdrukking maximaal is als $y=\frac{1}{2}$, $x$ is dan $1$ en $A=\frac{1}{4}$
$(b)$
noem de te maximaliseren uitdrukking $B$.
bekijk nu de functie $f(x)=B$. idem als hierboven vinden we met afgeleiden de voorwaarden $y=z$ of $2x=y+z$ of $x \in \{0,1\}$.
Dit doen we $2$ keer analoog.
Als er $2$ variabelen gelijk zijn, geldt dat $B=0$
Als ze verschillend zijn, kan slechts $1$ uitdrukking van de vorm $2x=y+z$ waar zijn.
De andere $2$ variabelen moeten dan $0$ en $1$ zijn
$z=0$ en $x=1$ met $y=0.5$ geeft hiermee een maximum van $\frac{1}{4}$.