NWO 2008

Vraag 1

Gegeven is een vierkant $ABCD$ en een punt $S$ binnen dit vierkant. Dit vierkant gaat onder puntvermenigvuldiging vanuit $S$ met een zekere factor $k > 1$ over in een vierkant $A'B'C'D'$. Bewijs dat de som van de oppervlaktes van de twee vierhoeken $AB'ABB'$ en $C'CDD'$ gelijk is aan de som van de oppervlaktes van de twee vierhoeken $B'BCC'$ en $D'DAA'$.

Vraag 2 Opgelost!

Bepaal alle paren positieve gehele getallen $(m,n)$ die voldoen aan $3\cdot2^n+1=m^2$

Vraag 3

Gegeven zijn $756$ willekeurige verschillende gehele getallen tussen $1$ en $2008$ (waarbij $1$ en $2008$ ook mee mogen doen). Deze verzameling gekozen getallen noemen we $S$. Bewijs dat er twee verschillende gehele getallen $a$ en $b$ zijn in $S$ waarvoor geldt dat $a + b$ deelbaar is door $8$.

Vraag 4

Drie cirkels $C_1,C_2,C_3$ met stralen van lengte respectievelijk $1$, $2$ en $3$ raken elkaar uitwendig. In het ingesloten gebied ligt een cirkeltje $C_4$ dat elk van de drie gegeven cirkels uitwendig raakt. Bereken de lengte van de straal van $C_4$.

Vraag 5 Opgelost!

We spelen een spel met een rij van $2008$ gehele getallen. Alle getallen in de rij zijn groter dan of gelijk aan $0$. Een zet bestaat uit het kiezen van een getal b uit de rij, waarvan de twee buurgetallen $a$ en $c$ positief (dus groter dan $0$) zijn. We vervangen dan $a$, $b$ en $c$ door respectievelijk $a-1$, $b+7$ en $c-1$. Het eerste en het laatste getal van de rij mogen niet gekozen worden omdat ze maar één buur hebben. Als we geen getal $b$ meer kunnen vinden waarvan beide buurgetallen positief zijn, kunnen we geen zet meer doen en stopt het spel. Bewijs dat het spel altijd op een gegeven moment stopt, met welke rij getallen we ook beginnen en welke zetten we ook doen.