Diophant

Aangezien $0$ en $1$ de restklassen $\pmod3$ zijn, is $m=3a+1$ of $m=3a-1$.

1)
$m=3a+1$
Dus $3\cdot 2^n+1=9a^2+6a+1$
zodat $2^n=3a^2+2a$
$n=0$ geeft geen oplossingen. $a$ moet dus even zijn, stel $a=2b$.
Dan $2^n=12b^2+4b$
zodat $2^{n-2}=b(3b+1)$
Nu kunnen $b$ en $3b+1$ niet beiden een macht van twee zijn. Er zijn dus twee gevallen te controleren:
$b=1$: dan is $3b+1=4$. Dit geeft de oplossing $m=7$ en $n=4$.
$3b+1=1$: dit geeft geen oplossingen.

2)
$m=3a-1$
Dus $3\cdot 2^n+1=9a^2-6a+1$
zodat $2^n=3a^2-2a$
$n=0$ geeft de oplossing $a=1$ en dus $(2,0)$ is een oplossing. Anders moet $a$ even zijn, stel $a=2b$.
Dan $2^n=12b^2-4b$
zodat $2^{n-2}=b(3b-1)$
Nu kunnen $b$ en $3b-1$ niet beiden een macht van twee zijn. Er zijn dus twee gevallen te controleren:
$b=1$: dan is $3b-1=2$. Dit geeft de oplossing $m=5$ en $n=3$.
$3b-1=1$: dit geeft geen oplossingen.

Drie oplossingen: $(2,0),(5,3),(7,4)$

Alternatief

Merk op dat $3 \cdot 2^n =(m-1)(m+1)$ en $m-1,m+1$ niet beide een veelvoud van $4$ kunnen zijn.
Bijgevolg zal een factor $\le 3 \cdot 2=6$ moeten zijn of $m-1 \le 6 \Rightarrow m \le 7$ en $3\cdot2^n \le 48 = 3 \cdot 2^4$

We hoeven dus slechts $5$ mogelijkheden voor $n$ afgaan en vinden de oplossingen $(2,0),(5,3),(7,4)$