NWO 1996

Vraag 1

Hoeveel verschillende (niet gelijkvormige) driehoeken zijn er waarvan de hoeken een geheel aantal graden hebben?

Vraag 2 Opgelost!

Onderzoek of voor twee positieve gehele getallen $m$ en $n$ de getallen $m^2+n$ en $n^2+m$ beide volkomen kwadraten kunnen zijn.

Vraag 3

Wat is het grootste aantal paarden dat je op een schaakbord kunt zetten zonder dat er ergens een tweetal paarden is dat elkaar kan slaan?
a) Beschrijf een opstelling met dat maximale aantal.
b) Bewijs dat een groter aantal niet mogelijk is.
(Een schaakbord bestaat $8\times8$ velden en een paard springt van een veld naar een ander veld volgens de regel "`twee vakjes verticaal en een vakje horizontaal" of "een vakje verticaal en twee vakjes horizontaal".)

Vraag 4 Opgelost!

Een lijn $l$ snijdt het lijnstuk $AB$ loodrecht in $C$. Drie cirkels zijn getekend met achtereenvolgens $AB,AC$ en $BC$ als middellijn. De grootste cirkel snijdt $l$ in $D$. De lijnstukken $DA$ en $DB$ snijden de twee kleinere cirkels nog in $E$ en $F$.
a) Bewijs dat vierhoek $CFDE$ een rechthoek is.
b) Bewijs dat de lijn door $E$ en $F$ de cirkels met middellijnen $AC$ en $BC$ raakt in $E$ en $F$.

Vraag 5 Opgelost!

Voor de positieve gehele getallen $x,y$ en $z$ geldt dat $x^{-1}+y^{-1}=z^{-1}$. Bewijs dat als de drie getallen $x,y$ en $z$ geen enkele gemeenschappelijke deler groter dan 1 hebben, $x+y$ het kwadraat is van een geheel getal.