volkomen kwadraten
Opgave - NWO 1996 vraag 2
Onderzoek of voor twee positieve gehele getallen $m$ en $n$ de getallen $m^2+n$ en $n^2+m$ beide volkomen kwadraten kunnen zijn.
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 1 gast online.
Oplossing
Het was pas toen ik de oplossing vond, dat ik je uitleg snapte. Misschien zou je het beter zo opschrijven:
Omdat $n>0$, moet $m^2+n > m^2$. Stel nu dat er inderdaad geldt dat $m^2+n$ een volkomen kwadraat is, dan moet er dus zeker gelden dat $m^2+n \geq (m+1)^2$, want $(m+1)^2$ is het kleinste volkomen kwadraat dat strikt groter is dan $m^2$. Deze ongelijkheid is equivalent met $n\geq 2m+1$. Analoog toont men aan dat uit de veronderstelling dat $n^2+m$ een volkomen kwadraat is, er volgt dat $m\geq 2n+1$. Deze twee ongelijkheden lid aan lid optellen, geeft $m+n\geq 2(m+n)+2$, dus $-2 \geq m+n$, hetgeen absurd is, daar $m,n > 0$.
stel dat $n=2mx+x^2$ is met $x$ een positief geheel getal, zodat $m^2+n=(m+x)^2$. dan $n^2+m=(2mx+x^2)^2+m=(2mx)^2+2(2mx^3+0.5m)+(x^2)^2$. dat laatste kan slechts omgetoverd worden in een volkomen kwadraat als
$(2mx)^2+2(2mx^3+0.5m)+(x^2)^2= ( 2mx+x^2+a)^2$ met $a$ geheel.
Dit komt overeen met $m=a(4mx+2x^2+a)$
Aangezien $x\ge 1$ geldt dat $4mx+x^2 \ge 4m+1$.
Als $|a|>m$ is $\frac{m}{a}$ niet meer geheel, contradictie.
Als $|a|\le m$ is $|4mx+2x^2+a| \ge 4m+1-m>m$
Dit betekent dus dat we een contradictie bekomen.