volkomen kwadraat
Opgave - NWO 1996 vraag 5
Voor de positieve gehele getallen $x,y$ en $z$ geldt dat $x^{-1}+y^{-1}=z^{-1}$. Bewijs dat als de drie getallen $x,y$ en $z$ geen enkele gemeenschappelijke deler groter dan 1 hebben, $x+y$ het kwadraat is van een geheel getal.
- login om te reageren
Oplossing
De vergelijking is equivalent met
$x+y=\frac{xy}{z}$
Definieer nu de volgende elementen
$ggd(x,y)=a$
$ggd(y,z)=b$
$ggd(x,z)=c$
$d=$ unieke priemfactoren van $x$ =$\frac{x}{ac}$
$e=$ " " van $y$
$f=$ " " van $z$
Uit het gegeven kunnen we afleiden dat
$\frac{xy}{z}=\frac{(acd)(abe)}{bcf}=\frac{a^2de}{f}=x+y$
Aangezien RL geheel is en $f\nmid a,d,e$ volgt dat $f=1$
Aangezien $d\mid x$ maar $d \nmid y$ als $d>1$ volgt dat $d\nmid x+y$ Wat een contradictie zou zijn. Dus $d=1$
Analoog vinden we $e=1$. We bekomen dus
$x+y=a^2$ q.e.d.
$\blacksquare$