rechthoek
Opgave - NWO 1996 vraag 4
Een lijn $l$ snijdt het lijnstuk $AB$ loodrecht in $C$. Drie cirkels zijn getekend met achtereenvolgens $AB,AC$ en $BC$ als middellijn. De grootste cirkel snijdt $l$ in $D$. De lijnstukken $DA$ en $DB$ snijden de twee kleinere cirkels nog in $E$ en $F$.
a) Bewijs dat vierhoek $CFDE$ een rechthoek is.
b) Bewijs dat de lijn door $E$ en $F$ de cirkels met middellijnen $AC$ en $BC$ raakt in $E$ en $F$.
- login om te reageren
Oplossing
a) Er geldt dat $\angle ADB= \angle AEC= \angle CFB = 90^{\circ}$
Dus $CFDE$ is een rechthoek.
b) Noem $N$ het middelpunt van de cirkel met diameter $AC$
Er geldt $\angle ECD + \angle DCF = 90^{\circ}$ en $\angle NCE + \angle ECD = 90^{\circ}$
dus $\angle DCF = \angle NCE$
En kunnen we besluiten:
$\angle NEF = \angle NEC + \angle CEF = \angle NCE + 90^{\circ} - \angle EFC$
$=\angle NCE - \angle NCE + 90^{\circ} = 90^{\circ}$
De gelijkheid $\angle CEF = 90^{\circ} - \angle EFC$ Komt door verwisselende binnenhoeken bij twee evenwijdigen en een snijlijn.
$NE=NC=R$ gaf $\angle NEC = \angle NCE .$
Het bewijs voor $F$ loopt volledig analoog.