NWO 1992

Vraag 1 Opgelost!

Vier dobbelstenen worden tegelijk opgegooid. Hoe groot is de kans dat het product van het aantal ogen gelijk is aan 36?

Vraag 2 Opgelost!

In deze opgave staat elke letter voor een cijfer. Verschillende letters staan voor verschillende cijfers. De teller en noemer van de breuk zijn onderling ondeelbaar. De decimale schrijfwijze repeteert met een periode van vier cijfers. Bepaal de waarde van de volgende repeterende breuk:
$$\mathcal{\frac{ADA}{KOK}}=0,\mathcal{SNELSNELSNELSNEL}\ldots.$$

Vraag 3 Opgelost!

Zes vierkanten liggen met de hoekpunten tegen elkaar, daarbij driehoeken insluitend. Bewijs dat de totale oppervlakte van de buitenste vierkanten ($I,II$ en $III$) gelijk is aan driemaal de totale oppervlakte van de drie binnenste vierkanten ($IV,V$ en $VI$).

Vraag 4 Opgelost!

Voor ieder natuurlijk getal $n$ wordt $n?$ als volgt gedefinieerd: $n?=1$ als $n=1$ en $\displaystyle{n?=\frac{n}{(n-1)?}}$ als $n\geq2$. Bewijs dat
$$\sqrt{1992}<1992?<\frac43\sqrt{1992}.$$

Vraag 5

We bekijken regelmatige $n-$hoeken met een vaste omtrek . De afstand van het middelpunt van zo'n $n-$hoek tot een hoekpunt noemen we $r_n$ en de afstand van het middelpunt tot een zijde $a_n$. Zie de tekening met $n=5$.
a) Bereken $a_4$, $r_4$, $a_8$, $r_8$.
b) Bedenk een passende definitie voor $a_2$ en $r_2$.
c) Bewijs: $a_{2n}=\frac12(a_n+r_n)$ en $r_{2n}=\sqrt{a_{2n}r_n}$.
De rij $u_0,u_1,u_2,u_3,\ldots$ wordt nu als volgt gedefinieerd: $u_0=0,u_1=1;u_n=\frac12(u_{n-2}+u_{n-1})$ als $n$ even is en $u_n=\sqrt{u_{n-2}u_{n-1}}$ als $n$ oneven is.
d) Bepaal $\lim_{n\rightarrow\infty}u_n$.