periodiek woord
Opgave - NWO 1992 vraag 2
In deze opgave staat elke letter voor een cijfer. Verschillende letters staan voor verschillende cijfers. De teller en noemer van de breuk zijn onderling ondeelbaar. De decimale schrijfwijze repeteert met een periode van vier cijfers. Bepaal de waarde van de volgende repeterende breuk:
$$\mathcal{\frac{ADA}{KOK}}=0,\mathcal{SNELSNELSNELSNEL}\ldots.$$
- login om te reageren
Oplossing
Allereerst werken we de periode weg:
$\frac{ADA}{KOK}=0,SNELSNELSNEL\dots\\
10000\frac{ADA}{KOK}=SNEL,SNELSNELSNEL\dots$
Als we de eerste vergelijking van de tweede aftrekken bekomen we
$9999\frac{ADA}{KOK}=SNEL$
Er is gegeven dat $ADA$ en $KOK$ copriem zijn, en dat $SNEL$ een natuurlijk getal is, dus $KOK\mid 9999$. Welnu $9999=3^2.11.101$ en we zien dat de enige delers van $9999$ van de vorm $KOK$ $101,303$ en $909$ zijn.
Als $KOK=101$, dan is $SNEL=99 ADA$ maar omdat $ADA>101 \Rightarrow 99ADA>10000$ en kan het dus nooit slecht vier cijfers lang zijn.
Als $KOK=909$, dan is $SNEL=11ADA=10ADA+ADA$ en is dus $L=A$ wat niet kan want $A$ en $L$ zijn verschillende cijfers.
Als we het nagaan zien we dat $KOK=303$ wel kan en dat is dus de enige mogelijkheid. Dus we hebben nu dat $SNEL=33 ADA$. Als $ADA>303\Rightarrow 33ADA>9999$ en we zien dat $ADA=303$ niet gaat, dus $A=1,2$. Maar als $A=1$ dan is $L=3=K$ wat niet kan dus $A=2$ en $L=6$
Na het afgaan en uitsluiting van gevallen concluderen we dat er slechts één oplossing is, namelijk dat $ADA=242$, $KOK=303$, en $SNEL=7986$ , Zodat we de volgende breuk bekomen:
$\frac{242}{303}=0,798679867986\dots$