verhouding van oppervlaktes
Opgave - NWO 1992 vraag 3
Zes vierkanten liggen met de hoekpunten tegen elkaar, daarbij driehoeken insluitend. Bewijs dat de totale oppervlakte van de buitenste vierkanten ($I,II$ en $III$) gelijk is aan driemaal de totale oppervlakte van de drie binnenste vierkanten ($IV,V$ en $VI$).
- login om te reageren
Oplossing
Drie keer cosinusregel in ∆ABC:
a^2 = b^2 + c^2 – 2bc•cosα $\Rightarrow$ $2bc \cdot \cos{\alpha}=b^2+c^2-a^2$
b^2 = a^2 + c^2 – 2ac•cosβ → 2ac•cosβ = a^2 + c^2 – b^2
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab•cosγ → 2ab•cosγ = a^2 + b^2 – c^2
Alles optellen geeft: 2bc•cosα + 2ac•cosβ + 2ab•cosγ = a^2 + b^2 + c^2.
Nog drie keer de cosinusregel in elk van de omliggende driehoeken:
x^2 = b^2 + c^2 – 2bc•cos(180º – α) = b^2 + c^2 + 2bc•cos(α)
y^2 = a^2 + c^2 – 2ac•cos(180º – β) = a^2 + c^2 + 2ac•cos(β)
z^2 = a^2 + b^2 – 2ab•cos(180º – γ) = a^2 + b^2 + 2ab•cos(γ)
(want cos(180º - x) = -cos(x) voor elke waarde van x).
Deze drie optellen geeft:
x^2 + y^2 + z^2 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2bc•cosα + 2ac•cosβ + 2ab•cosγ
= 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + a^2 + b^2 + c^2 = 3a^2 + 3b^2 + 3c^2
= 3•(a^2 + b^2 + c^2).
Dus: opp(I) + opp(II) + opp(III) = 3•[opp(IV) + opp(V) + opp(VI)].
QED.