APMC 1985

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

$a,b,c$ zijn verschillende reële getallen met som 0. Zij $x=(b-c)/a,y=(c-a)/b,z=(a-b)/c$. Toon aan dat
$$(x+y+z)(\frac1x+\frac1y+\frac1z)=9.$$

Vraag 2

Voor welke $n>7$ bestaat er een graaf, zodat er 3 knopen van graad $n-1$ zijn, 3 knopen van graad $n-2$ en één knoop met graad $k$ voor $k=4,5,6,\ldots,n-3$?

Vraag 3

Vier punten vormen een vierhoek met oppervlakte 1. Toon aan dat de som van de zes afstanden tussen elk paar punten minimum $4+\sqrt8$ is.

Dag 2

Vraag 1

Vind alle reële oplossingen voor
$$x^4+y^2-xy^3=\frac{9x}8$$
$$y^4+x^2-x^3y=\frac{9y}8.$$

Vraag 2

We hebben $N$ identieke verzamelingen van gewichten. Iedere verzameling bestaat uit vier gewichten, die elk een verschillend natuurlijk getal voorstellen. Er bestaat een deelverzameling van de $4N$ gewichten die $k$ wegen voor $k=1,2,3\ldots,1985$. De gewichten en $N$ worden zo gekozen dat het totale gewicht $4N$ zo klein mogelijk is. Hoeveel zo'n minimale verzamelingen zijn er?

Vraag 3

$ABCD$ is een viervlak met inwendig punt $P$. De middens van $PBCD, APCD, ABPD, ABCP$ zijn $A',B',C',D'$ respectievelijk. Toon aan dat het volume van $A'B'C'D'$ precies 1/64 van het volume is van $ABCD$.

Dag 3

Vraag 1 Opgelost!

Voor alle reële getallen $a,b,c,d$ en $(a,b,c,d)\neq(0,0,0,0)$, vind de kleinste bovengrens voor
$$\frac{ab+2bc+cd}{a^2+b^2+c^2+d^2}.$$

Vraag 2

Een convexe $n-$hoek $A_0A_1\ldots A_n$ wordt verdeeld in $n-2$ driehoeken door diagonalen die elkaar niet snijden (behalve in de hoekpunten zelf dan). Vind het aantal manieren om de driehoeken $T_1,T_2,\ldots,T_{n-2}$ te labelen zodat $A_i$ een hoekpunt is van $T_i$ voor elke $i$. De tekening toont een mogelijke schikking.

Vraag 3

Gegeven eender welke convexe veelhoek $V$, toon aan dat we een inwendig punt $P$ van $V$ kunnen vinden en drie hoekpunten $X,Y,Z$ zodat elke van de twee hoeken tussen $PX$ en $X$ scherp is, en analoog voor $Y$ en $Z$. De tekening vertoont een slechte keuze, met de voorwaarde enkel voor $X$ geldend.