ongelijkheid

Die bovengrens is $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$, bewijs dat dit klopt:

$$\frac{1+\sqrt{2}}{2}a^2+(\frac{\sqrt{2}-1}{2})b^2\ge ab$$
$$\frac{1+\sqrt{2}}{2}d^2+(\frac{\sqrt{2}-1}{2})c^2\ge cd$$
$$b^2+c^2\ge2bc$$
Dit volgt allemaal uit AM-GM en samengeteld heeft het:
$$ab+2bc+cd\le(a^2+b^2+c^2+d^2)\frac{1+\sqrt{2}}{2}$$
$$\Leftrightarrow$$
$$\frac{ab+2bc+cd}{a^2+b^2+c^2+d^2}\le\frac{1+\sqrt{2}}{2}$$

Gelijkheid treedt op als $(a,b,c,d)=(x,(1+\sqrt{2})x,(1+\sqrt{2})x,x)$ met $x \in \mathbb{R}$ zodat dit wel degelijk de kleinste bovengrens was.

De waarde konden we vinden door eerst het volgende stelsel op te lossen;
$M-\frac{1}{4M}=1 \leftrightarrow M^2-4M-1=0$ ten gevolgde van de ongelijkheden
$Ma^2+\frac{b^2}{4M}\ge ab$
$Md^2+\frac{c^2}{4M}\ge cd$
$(M-\frac{1}{4M})b^2+(M-\frac{1}{4M})c^2\ge 2bc$