APMC 1982

Dag 1

Vraag 1

Vind alle natuurlijke getallen $m,n$ waarvoor geldt dat $ggd((n+1)^m-n,(n+1)^{m+3}-n)>1$.

Vraag 2

$C$ is een cirkel met middelpunt $O$ en straal 1, en we definiëren $D$ als het binnenste van $C$ (dus $D$ is de opgevulde cirkel zonder de rand). $F$ is een gesloten convexe deelverzameling van $D$. Uit ieder punt van $C$ bestaan er twee raaklijnen aan $F$, die een hoek van $60^\circ$ vormen. Toon aan dat $F$ de gesloten schijf (dus opgevulde cirkel) met middelpunt $O$ en straal 1/2 is.

Vraag 3

Zij $n$ een natuurlijk getal groter dan 1. Definieer $\displaystyle{f(k)=1+\frac{3^k}{3^n-1}}$ en $\displaystyle{g(k)=1-\frac{3^k}{3^n-1}}$. Toon aan dat
$$\tan{\frac{f(1)\pi}3}\tan{\frac{f(2)\pi}3}\ldots\tan{\frac{f(n)\pi}3} \tan{\frac{g(1)\pi}3}\tan{\frac{g(2)\pi}3}\ldots\tan{\frac{g(n)\pi}3}= 1.$$

Dag 2

Vraag 1

De rij $a_1,a_2,a_3,...$ voldoet aan $a_{n+1}=a_n+D(a_n)$ waar $D(m)$ staat voor het product van de decimale cijfers van $m$. Is de rij begrensd voor alle $a_1$?

Vraag 2

Het gesloten interval $[0,1]$ is de unie van twee disjuncte verzamelingen $A$ en $B$. Toon aan dat we geen reëel getal $k$ kunnen vinden zodat $B=\{x+k|x\in A\}$.

Vraag 3

$k$ is een vast geheel getal. Zij $N_k=\{k,k+1,k+2,...\}$. Vind alle functies $f=\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ op $N_k$ zodat $f(m+n)=f(m)f(n)$ voor alle $m,n$ zodat $m,n,m+n\in N_k$.

Dag 3

Vraag 1

Vind natuurlijke getallen $a,b,c,d,e,f$ zodat
(i)$a>c>e$,
(ii)$a^b=c^d=e^f$,
(iii)$cd=ef$,
(iv)$a+b=c+d$,
(v)$cd$ is minimaal.

Vraag 2

$P$ is een punt binnen een regelmatig viervlak van zijde 1. Toon aan dat de som van $P$ tot alle zijvlakken minimum $\displaystyle{\frac3{\sqrt2}}$ is, met gelijkheid als $P$ het midden is.

Vraag 3

Zij $n$ een natuurlijk getal groter dan 2. Zij $S_n$ de som van de $n^2$ waarden $\displaystyle{\frac1{\sqrt{i^2+j^2}}}$ met $i=1,2,...,n$ en $j=1,2,...,n$. Toon aan dat $S_n\geq n$. Vind een zo klein mogelijke constante $k$ zodat $S_n\leq kn$.