IrMO 1999

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Vind alle reële oplossingen voor
$$\frac{x^2}{(x+1-\sqrt{x+1})^2}<\frac{x^2+3x+18}{(x+1)^2}.$$

Vraag 2

De Fibonacci-rij wordt gedefinieerd door $F_0=1,F_1=1$ en $F_{n+2}=F_{n+1}=F_n$. Toon aan dat er een element in de Fibonacci-rij is dat deelbaar is door 1000.

Vraag 3

In de driehoek $ABC$ is $AD$ een hoogte, $BE$ een bissectrice en $CF$ een zwaartelijn. Toon aan dat deze drie rechten concurrent zijn als $a^2(a-c)=(b^2-c^2)(a+c)$.

Dag 2

Vraag 1

Toon aan dat een $10000\times10000$ bord betegeld kan worden met $1\times3$ tegels en een $2\times2$ tegel die centraal gepositioneerd wordt, maar niet als de $2\times2$ tegel in een hoek geplaatst wordt.

Vraag 2

De rij $u_0,u_1,u_2,\ldots$ wordt gedefinieerd als $u_0=0,u_1=1$ en $u_{n+1}$ is het kleinste natuurlijk getal groter dan $u_n$ zodat er geen rekenkundige rij $u_i,u_j,u_{n+1}$ met $i

Vraag 3

Los op in reële getallen:
$$y^2=(x+8)(x^2+2)$$
$$y^2=(8x+4)y-(16+16x-5x^2).$$

Dag 3

Vraag 1 Opgelost!

De functie $f\mathbb N\rightarrow\mathbb N$ heeft de eigenschap dat $f(mn)=f(m)f(n)$ als $m$ en $n$ onderling ondeelbaar zijn en $f(p+q)=f(p)+f(q)$ voor alle priemgetallen $p,q$. Toon aan dat $f(2)=2,f(3)=3$ en $f(1999)=1999$.

Vraag 2 Opgelost!

Toon aan dat voor positieve reële getallen $a,b,c,d$ zodat $a+b+c+d=1$ geldt dat
$$\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+ \frac{d^2}{d+a}\geq\frac12$$
en dat gelijkheid optreedt als $a=b=c=d$.

Vraag 3 Opgelost!

Zij $d(n)$ het aantal positieve delers van $n$. Vind alle $n$ zodat $n=d(n)^4$.

Vraag 4

$ABCDEF$ is een convexe zeshoek zodat $AB=BC,CD=DE,EF=FA$ en $\angle B+\angle D+\angle F=360^\circ$. Toon aan dat de loodrechten uit $A,C,E$ op $FB,BD,DF$ respectievelijk concurrent zijn.