ongelijkheid
Opgave - IrMO 1999 dag 3 vraag 2
Toon aan dat voor positieve reële getallen $a,b,c,d$ zodat $a+b+c+d=1$ geldt dat
$$\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+ \frac{d^2}{d+a}\geq\frac12$$
en dat gelijkheid optreedt als $a=b=c=d$.
- login om te reageren
Oplossing
Wow, dit moet één van de meest triviale ongelijkheden ooit zijn :shock:
Volgens Cauchy in Engel form is $$\sum \frac{a^2}{a+b} \geq \frac{(a+b+c+d)^2}{\sum a+b} = \frac{1}{2}.$$(Sommatieteken met cyclische nuance.)