delers

Opgave - IrMO 1999 dag 3 vraag 3

Zij $d(n)$ het aantal positieve delers van $n$. Vind alle $n$ zodat $n=d(n)^4$.

Oplossing

We merken op dat $n=1$ voldoet.
Voor grotere waarden:

zij de priemontbinding van $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\dots p_k^{a_k}$
dan is $d(n)=(a_1+1)(a_2+1)\dots (a_k+1)$
dus $p_1^{a_1}p_2^{a_2}\dots p_k^{a_k} = \Big((a_1+1)(a_2+1)\dots(a_k+1)\Big)^4$

uit deze gelijkheid kunnen we enkele zaken afleiden:
$n$ is een vierdemacht, dus in zijn priemontbinding is elke exponent een viervoud, waaruit volgt dat elke $a_i$ deelbaar is door $4$.
We kunnen dus iedere $a_i=4m_i$ schrijven:
$p_1^{4m_1}p_2^{4m_2}\dots p_k^{4m_k} = \Big((a_1+1)(a_2+1)\dots(a_k+1)\Big)^4$
$p_1^{m_1}p_2^{m_2}\dots p_k^{m_k}=(4m_1+1)(4m_2+1)\dots(4m_k+1)$

Bekijk nu $ f( p_i,m_i)= \frac{p_i^{m_i}}{4m_i+1}$, wat gelijk is aan $1$.

Dan geldt dat $f(p_i,m_i)$<$f(p_i,m_i+1)$ en $f(p_i,m_i)$<$f(p_j,m_i)$ als $p_j$>$p_i.$
( de eerste volgt omdat
$\frac{p_i(4m_i+1}{4m_i+5}
\ge
\frac{3(4m_i+1}{4m_i+5}> 1$ aangezien $8m_i>2$ , de tweede uitdrukking is triviaal )

Omdat $f(3,3)>2, f(5,2)>2$ en $f(11,1)>2$,
geldt dat $f(3,1)= 0.6 , f(3,2)=1, f(5,1)=1, f(7,1)= 1.4$de enige functiewaarden zijn die kleiner dan $2$ zijn.

Het product van deze functies moet $1$ opleveren, aangezien de enige functiewaarde kleiner dan $1$ gelijk is aan $0.6$ , mag er geen functiewaarde groter dan $2$ voorkomen.
Hierdoor zijn er slechts een eindig aantal gevallen nog te controleren en merken we op dat omdat $ \frac{5}{3}$ niet kan voorkomen als andere factor.

Als gevolg moet iedere functiewaarde $1$ zijn.

Hiervoor vinden we met $(5,1),(3,2)$ de oplossingen $5^4,3^8$ en $5^4*3^8$

hieruit volgt dat $n$ slechts 4 waarden kan hebben nl. $1, 625, 6561, 4100625$.
$\blacksquare$