CanMO 2007
Vraag 1
Op een $9\times8$ bord worden zes $2\times1$ tegels geplaatst, zoals op de figuur. Hoeveel $2\times1$ tegels (of $1\times2$) kan men nog op dit bord plaatsen, zonder overlap en zonder buiten het bord te gaan?
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline\hphantom{\star}& & & & & & & & \\
\hline & & & & & &\star&\star& \\
\hline & & & & &\star&\star& & \\
\hline & & & &\star&\star& & & \\
\hline & & &\star&\star& & & & \\
\hline & &\star&\star& & & & & \\
\hline &\star&\star& & & & & & \\
\hline & & & & & & & &\hphantom{\star}\\
\hline\end{array}$$
Vraag 2
Gegeven twee gelijkvormige driehoeken waarvoor twee zijden van de ene driehoek gelijk zijn in lengte aan twee zijden van de andere driehoek (maar niet noodzakelijk de derde gelijk). Toon aan dat de gelijkvormigheidsratio tussen $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ en $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ ligt.
Vraag 3 Opgelost!
Zij $f\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ een functie die voldoet aan $f(xy)+f(y-x)\ge f(y+x)$ voor alle $x,y\in\mathbb{R}$.
- Geef een niet-constante veeltermfunctie die daaraan voldoet.
- Toon aan dat $f(x)\ge0$ voor alle $x\in\mathbb{R}$.
[/]
Vraag 4 Opgelost!
Voor $a,b\in\mathbb{R}$ met $ab\not=1$, definiëren we $a*b$ als $\frac{a+b-2ab}{1-ab}$.
Zij $n\ge2$, en zij $S=\{x_1,\ldots,x_n\}$ gegeven met $0 < x_i <1$. Neem nu telkens twee elementen $a,b\in S$ en vervang ze door $a*b$. Herhaal dit tot er maar één getal overblijft.
- Bewijs dat dit getal niet afhangt van welke getallen we in elke stap vervingen.
- Als we enkel eisten dat $0 < x_i\le1$, wat gebeurt er dan als $S$ precies één $1$ bevat?
[/]
Vraag 5
De ingeschreven cirkel van $\triangle ABC$ raakt de zijden $BC$,$CA$ en $AB$ respectievelijk in de punten $D$, $E$ en $F$. Zij $\Gamma$, $\Gamma_1$, $\Gamma_2$ en $\Gamma_3$ de omgeschreven cirkels aan respectievelijk driehoeken $\triangle ABC$, $\triangle AEF$, $\triangle BDF$ en $\triangle CDE$. Neem de punten $P,Q,R$ waarvoor $\Gamma\cap\Gamma_1=\{A,P\}$, $\Gamma\cap\Gamma_2=\{B,Q\}$ en $\Gamma\cap\Gamma_3=\{C,R\}$.
- Bewijs dat $\Gamma_1\cap \Gamma_2\cap \Gamma_3 \not= \emptyset$.
- Bewijs dat $PD$, $QE$ en $RF$ concurrent zijn.
[/]
