functie-ongelijkheid

Opgave - CanMO 2007 vraag 3

Zij $f\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ een functie die voldoet aan $f(xy)+f(y-x)\ge f(y+x)$ voor alle $x,y\in\mathbb{R}$.

  1. Geef een niet-constante veeltermfunctie die daaraan voldoet.
  2. Toon aan dat $f(x)\ge0$ voor alle $x\in\mathbb{R}$.

[/]

Oplossing

a. $f(x) = x^2 + 4$ is een oplossing. We controleren:
$$(xy)^2 +4 + (y-x)^2 +4 \ge (y+x)^2 + 4 \iff x^2y^2 - 4xy + 4 = (xy-2)^2 \geq 0$$ wat duidelijk klopt.

b.
Vullen we $y=\frac{x}{x-1}$ in, dan krijgen we
$$f\left(\frac{x^2}{x-1}\right) + f\left(\frac{x}{x-1} - x\right) \ge f\left(\frac{x}{x-1} + x\right)$$
$$\iff f\left(\frac{x^2}{x-1}\right) + f\left(\frac{2x-x^2}{x-1}\right) \ge f\left(\frac{x^2}{x-1}\right)$$
$$\iff f\left(\frac{2x-x^2}{x-1}\right) \ge 0$$

Deze uitspraak geldt voor elke keuze van $x \in \mathbb{R} \setminus 1$.
We bewijzen nu dat voor elke $z \in \mathbb{R}$ er een $x \not=1$ bestaat zodat $z = \frac{2x-x^2}{x-1}$, waarmee het gevraagde bewezen is.
De gelijkheid is equivalent met
$$x^2 + x(z-2) - z = 0$$
Voor een vaste waarde van $z$, merken we op dat de discriminant
$$D = (z-2)^2 - 4(-z) = z^2 + 4 > 0.$$ Dit impliceert dat de gelijkheid minstens $2$ reele oplossingen geeft en dus ook eentje waarbij $x \not=1.$