vreemde operator
Opgave - CanMO 2007 vraag 4
Voor $a,b\in\mathbb{R}$ met $ab\not=1$, definiëren we $a*b$ als $\frac{a+b-2ab}{1-ab}$.
Zij $n\ge2$, en zij $S=\{x_1,\ldots,x_n\}$ gegeven met $0 < x_i <1$. Neem nu telkens twee elementen $a,b\in S$ en vervang ze door $a*b$. Herhaal dit tot er maar één getal overblijft.
- Bewijs dat dit getal niet afhangt van welke getallen we in elke stap vervingen.
- Als we enkel eisten dat $0 < x_i\le1$, wat gebeurt er dan als $S$ precies één $1$ bevat?
[/]
- login om te reageren
Oplossing
a. Allereerst kunnen we vanwege symmetrie besluiten dat de bewerking commutatief is, namelijk dat $a*b=b*a$. We gaan nu bewijzen dat ze ook associatief is. Merk hierbij op dat $a*b=\frac{a+b-2ab}{1-ab}=\frac{a+b-ab-1}{1-ab}+1=1-\frac{(1-a)(1-b)}{1-ab}$
Als we met deze vorm verder rekenen kunnen we na wat vereenvoudigen en samennemen afleiden dat $(a*b)*c=a*(b*c)=1- \frac{ (1-a)(1-b)(1-c)}{1-ab-ac-bc+2abc}$, dus dat de bewerking ook associatief is. Dit betekent dat het goed gedrag vertoont en dat de volgorde van de termen (net zoals bij optelling) geen rol speelt in het eindresultaat.
b. Merk op dat $a*1=1-0=1$, dus dat het eindresultaat altijd één zal zijn.