CanMO 2006

Vraag 1

Zij $f(n,k)$ het aantal manieren om $k$ snoepjes te verdelen onder $n$ kinderen, zodat ieder kind maximum 2 snoepjes krijgt. Bijvoorbeeld, met $n=3$, $f(3,7)=0,\ f(3,6)=1$ en $f(3,4)=6$. Bepaal de waarde van
$$f(2006,1)+f(2006,4)+f(2006,7)+\cdots+f(2006,1000)+f(2006,1003).$$

Vraag 2

Zij $ABC$ een scherphoekige driehoek. Schrijf een rechthoek $DEFG$ in deze driehoek zodat $D$ op $AB$ ligt, $E$ op $AC$ en zowel $F$ en $G$ op $BC$. Beschrijf de meetkundige plaats van de snijpunten van de diagonalen van alle mogelijke rechthoeken $DEFG$.

Vraag 3

In een matrix van positieve reële getallen met $m$ rijen en $n$ kolommen, bevat iedere rij en kolom minstens één positief element. Daarenboven, als een rij en kolom snijden in een positief element, dan is de som van hun elementen dezelfde. Bewijs dat $m=n$.

Vraag 4

We beschouwen een toernooi met $2n+1$ teams waarin ieder team precies één keer tegen ieder ander team speelt. We zeggen dat drie teams $X,Y$ en $Z$ een cyclisch drietal vormen als $X$ $Y$ heeft verslaan, $Y$ $Z$ heeft verslaan, en $Z$ $X$ heeft verslaan. Er is altijd een winnaar in een match, dus niemand speelde gelijk.
(a) Bepaal het minimum aantal cyclische drietallen dat mogelijk is.
(b) Bepaal het maximum aantal cyclische drietallen dat mogelijk is.

Vraag 5

De hoekpunten van een rechthoekige driehoek $ABC$ ingeschreven in een cirkel verdelen de omtrek in drie bogen. De rechte hoek bevindt zich in $A$, zodat de boog $BC$ een halve cirkel is en de bogen $AB$ en $AC$ supplementair zijn. Aan ieder van de drie bogen tekenen we een raaklijn zodat het raakpunt het midden is van het stuk van de raaklijn ingesloten tussen het verlengde van de zijden $AB$ en $AC$. Meer precies, het punt $D$ op de boog $BC$ is het midden van het lijnstuk dat de punten $D'$ en $D''$ verbindt waar de raaklijn in $D$ de verlengden van de zijden $AB$ en $AC$ snijdt. Analoog voor $E$ op de boog $AC$ en $F$ op de boog $AB$. Bewijs dat de driehoek $DEF$ gelijkzijdig is.