CanMO 2005

Vraag 1

Beschouw een gelijkzijdige driehoek met als lengte van de zijden $n$, die verdeeld is in eenheidsvierkantjes zoals getoond op de figuur. Zij $f(n)$ het aantal paden van het driehoekje in de bovenste rij, tot het driehoekje in het midden van de onderste rij, zodat de achtereenvolgende driehoekjes op ons pad een zijde gemeenschappelijk hebben en dat een pad nooit omhoog klimt (van een lagere rij naar een hogere rij dus) of twee keer in 1 driehoekje passeert. Een voorbeeld van zo'n pad is getekend voor $n=5$. Bepaal de waarde van $f(2005)$.

Vraag 2 Opgelost!

Zij $a,b,c$ drie natuurlijke getallen verschillend van 0 zodat $a^2+b^2=c^2$.
(a) Bewijs dat $(c/a+c/b)^2>8$.
(b) Bewijs dat we geen natuurlijk getal $n$ kunnen vinden waarvoor we een drietal $(a,b,c)$ kunnen vinden zodat $(c/a+c/b)^2=n$.

Vraag 3

Zij $S$ een verzameling van $n\geq3$ punten aan de binnenkant van een cirkel.
(a) Toon aan dat er drie verschillende punten $a,b,c\in S$ en drie verschillende punten $A,B,C$ op de cirkel bestaan zodat $a$ strikt dichter ligt bij $A$ dan eender welk punt in $S$, $b$ strikt dichter ligt bij $B$ dan eender welk punt in $S$ en $c$ strikt dichter ligt bij $C$ dan eender welk punt in $S$.
(b) Toon aan dat voor geen enkele waarde van $n$ vier zo'n punten (en vier corresponderende punten op de cirkel) gegarandeerd kunnen worden.

Vraag 4

Zij $ABC$ een driehoek met omgeschreven straal $R$, omtrek $P$ en oppervlakte $K$. Bepaal de maximumwaarde van $KP/R^3$.

Vraag 5

Laten we zeggen dat een geordend drietal natuurlijke getallen $(a,b,c)$ $n-$machtig is als $a\leq b\leq c$, ggd$(a,b,c)=1$ en $a+b+c|a^n+b^n+c^n$. Bijvoorbeeld, $(1,2,2)$ is 5-machtig.
(a) Bepaal alle geordende drietallen (indien er zijn) die $n-$machtig zijn voor alle $n\geq1$.
(b) Bepaal alle geordende drietallen (indien er zijn) die 2004-machtig en 2005-machtig zijn, maar niet 2007-machtig.