CanMO 2004

Vraag 1 Opgelost!

Vind alle geordende drietallen $(x,y,z)$ die voldoen aan volgend stelsel van vergelijkingen:
$$\left\{
\begin{array}{lll}
xy=z-x-y\\
xz=y-x-z\\
yz=x-y-z\\
\end{array}$$

Vraag 2

Op hoeveel manieren kan je 8 elkaar niet-aanvallende torens op een 9x9 schaakbord zetten zodat alle torens op een vierkant staan van dezelfde kleur? (Een toren kan enkel horizontaal en verticaal aanvallen.)

Vraag 3

Zij $A,B,C,D$ een viertal punten die kloksgewijs op een cirkel voorkomen met $ABCD$. Zij $X$ het snijpunt van de bissectrice van $\angle BAD$ met de cirkel en $Y$ het snijpunt van de bissectrice van $\angle BCD$ met de cirkel. Als vier van de zes zijden van de zeshoek gevormd door deze zes punten gelijke lengte hebben, bewijs dan dat $BD$ een diameter van de cirkel is.

Vraag 4 Opgelost!

Zij $p$ een priemgetal verschillend van 2, bewijs dat
$$\sum_{k=1}^{p-1}k^{2p-1}\equiv\frac{p(p+1)}2\text{ (mod }p^2).$$

Vraag 5

Zij $T$ de verzameling van alle positieve delers van $2004^{100}$. Wat is het grootst mogelijk aantal elementen dat een deelverzameling $S$ van $T$ kan hebben als geen enkel element van $S$ een natuurlijk veelvoud van een ander element van $S$ is?