Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › Canada › CanMO › 2004 › modulo

modulo

Tags:

Opgave - CanMO 2004 vraag 4

Zij $p$ een priemgetal verschillend van 2, bewijs dat

$$\sum_{k=1}^{p-1}k^{2p-1}\equiv\frac{p(p+1)}2\text{ (mod }p^2).$$

Oplossing

Ingediend door C|Debry

Uit de eerste vergelijking volgt er dat $(x+1)(y+1) = z+1$ en analoog bekomt men dat $(y+1)(z+1) = x+1$ en $(z+1)(x+1) = y+1$. Vermenigvuldig deze gelijkheden om te bekomen dat $\left((x+1)(y+1)(z+1)\right)^2 = (x+1)(y+1)(z+1)$, i.e. $(x+1)(y+1)(z+1) \in\{0,1\}$.

Als $(x+1)(y+1)(z+1) = 0$, mogen we WLOG veronderstellen dat $x = -1$. Dan moet $z+1 = (x+1)(y+1) = 0$, dus $z = -1$ en analoog $y = -1$, dus $(x,y,z) = (-1,-1,-1)$.

Als $(x+1)(y+1)(z+1) = 1$, dan is $(z+1)^2 = (x+1)(y+1)(z+1) = 1$, dus $z+1 \in \{-1,1\}$, i.e. $z\in\{-2,0\}$.
Als $z = -2$, moet $-2y = x-y+2$, dus $x+y+2 = 0$, dus $-1 = z+1 = (x+1)(y+1) = xy+x+y+1 = xy-2+1 = xy-1$, dus $xy = 0$, dus $x = 0$ of $y = 0$. Voor $x = 0$ krijgen we $0 = xy = z-x-y = -2-y$, dus $y = -2$, dus het drietal $(0,-2,-2)$ en analoog voor $y = 0$ het drietal $(-2,0,-2)$.
Als $z = 0$, moet $0 = yz = x-y-z = x-y$, dus $x = y$. En uit $x^2 = xy = z-x-y = -2x$ volgt dan $x = y \in\{-2,0\}$. Bijgevolg vinden we nog de twee drietallen $(0,0,0)$ en $(-2,-2,0)$.

Alle oplossingen zijn dus: $(x,y,z) = (0,0,0),(-2,-2,0),(-2,0,-2),(0,-2,-2),(-1,-1,-1)$.