CanMO 2002

Vraag 1 Opgelost!

Zij $S$ een deelverzameling van $\{1,2,...,9\}$ zodat alle sommen van twee ongeordende elementen uit $S$ verschillend zijn. De deelverzameling $\{1,2,3,5\}$ voldoet bijvoorbeeld aan deze voorwaarde, maar $\{1,2,3,4,5\}$ niet aangezien de paren $\{1,4\}$ en $\{2,3\}$ dezelfde som hebben, namelijk 5. Wat is het maximum aantal elementen dat in $S$ kan zitten?

Vraag 2

We noemen een natuurlijk getal $n$ praktisch als ieder natuurlijk getal kleiner of gelijk aan $n$ kan geschreven worden als de som van verschillende positieve delers van $n$. Zo is bijvoorbeeld 6 praktisch, aangezien
$$1=1,\ 2=2,\ 3=3,\ 4=1+3,\ 5=2+3,\ 6=6.$$
Bewijs dat het product van twee praktische getallen praktisch is.

Vraag 3 Opgelost!

Bewijs dat voor alle positieve reële getallen $a,b,c$ geldt dat
$$\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab}\geq a+b+c,$$
en bepaal wanneer er gelijkheid optreedt.

Vraag 4

Zij $\Gamma$ een cirkel met straal $r$ en zij $A$ en $B$ twee verschillende punten op $\Gamma$ zodat $AB<\sqrt3r$. Stel $C$ het andere snijpunt van de cirkel met middelpunt $B$ en straal $AB$ en de cirkel $\Gamma$. Zij $P$ het punt binnen de cirkel $\Gamma$ zodat de driehoek $ABP$ gelijkzijdig is. Uiteindelijk, laat de rechte $CP$ de cirkel $\Gamma$ opnieuw snijden in $Q$. Bewijs dat $PQ=r$.

Vraag 5 Opgelost!

Bepaal alle functies $f\mathbb N\rightarrow\mathbb N$ zodat
$$xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x^2+y^2)$$
voor alle $x,y\in\mathbb N$.