ongelijkheid
Opgave - CanMO 2002 vraag 3
Bewijs dat voor alle positieve reële getallen $a,b,c$ geldt dat
$$\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab}\geq a+b+c,$$
en bepaal wanneer er gelijkheid optreedt.
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 0 gasten online.
Oplossing
De ongelijkheid is homogeen, dus stel WLOG dat $abc=1$. We willen bewijzen dat $a^4+b^4+c^4 \geq a+b+c = a^2bc+ab^2c+abc^2$. Laat Muirhead op $(4,0,0)\succ(2,1,1)$ los en we zijn klaar.
Edit: gelijkheid als $a=b=c$ volgens Muirhead.
De ongelijkheid is homogeen, dus stel WLOG dat $abc=1$. We willen bewijzen dat $a^4+b^4+c^4 \geq a+b+c = a^2bc+ab^2c+abc^2$. Laat Muirhead op $(4,0,0)\succ(2,1,1)$ los en we zijn klaar.
Edit: gelijkheid als $a=b=c$ volgens Muirhead.
Oplossing 3: Jensen op $f(x)=x^4$ geeft $a^4+b^4+c^4\ge 4\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^4 = (a+b+c) \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3 \ge abc(a+b+c)$
Ten eerste zijn $(a^3,b^3,c^3)$ en $(\frac{a}{abc}=\frac{1}{bc},\frac{b}{abc}=\frac{1}{ac},\frac{c}{abc}=\frac{1}{ab})$ steeds gelijk geordend.
We hebben dus dat $\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ac}+\frac{b^3}{ab}\geq \frac{a^3}{ab}+\frac{b^3}{bc}+\frac{c^3}{ac}=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$ wegens de orde-ongelijkheid.
Er geldt ook dat $(a^2,b^2,c^2)$ en $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})$ steeds tegengesteld geordend zijn.
De orde-ongelijkheid zegt dus ook dat $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \frac{a^2}{a}+\frac{b^2}{b}+\frac{c^2}{c}=a+b+c$.
Deze twee ongelijkheden samen gaf het te bewijzene. q.e.d.
Merk op:
Wegens symmetrie kunnen we zvva stellen dat $a \geq b \geq c$" en daarmee de "gelijk gesorteerd" en "tegengesteld gesorteerd" duidelijker laten inzien.