som
Opgave - CanMO 2002 vraag 1
Zij $S$ een deelverzameling van $\{1,2,...,9\}$ zodat alle sommen van twee ongeordende elementen uit $S$ verschillend zijn. De deelverzameling $\{1,2,3,5\}$ voldoet bijvoorbeeld aan deze voorwaarde, maar $\{1,2,3,4,5\}$ niet aangezien de paren $\{1,4\}$ en $\{2,3\}$ dezelfde som hebben, namelijk 5. Wat is het maximum aantal elementen dat in $S$ kan zitten?
- login om te reageren
Oplossing
weggever :lol: , We zien dat als er 6 elementen in de verzameling zitten, er 15 sommen zullen zijn, die allemaal verschillend moeten zijn. Er zijn slechts 15 sommen mogelijk uit deze verzameling, nl. van 3 t.e.m. 17, maar als we 3 en 17 als som in 1 verzameling nemen, dan zien we dat $1+9=8+2$, waardoor er maximum 14 sommen in een verzameling kunnen zitten, waardoor 6 of meer uitgesloten is. voor 5 elementen beschouwen we de volgende verzameling: $\{1,3,5,8,9\}$. 5 is het maximum.