CanMO 2000

Vraag 1

Om 12u 's middags beginnen Anne, Beth en Carmen rondjes te lopen rond een cirkelvormige piste van lengte 300 meter, allemaal startend vanop dezelfde plaats. Iedere jogger behoudt een constante snelheid in één van de twee richtingen van de piste voor een onbepaalde tijd. Toon aan dat als Annes snelheid verschillend is van de andere twee snelheden, dat op een bepaald moment Anne op zijn minst 100 meter zal verwijderd zijn van zowel Beth als Carmen. (Afstand wordt hier gemeten op de kortste boog tussen twee renners.)

Vraag 2

Zij $a_1,a_2,...,a_{100}$ een permutatie van de getallen uit de verzameling $A=\{1901,1902,...,2000\}$. We definiëren nu
$$s_1=a_1,\ s_2=a_1+a_2,\ s_3=a_1+a_2+a_3,\ \cdots,\ s_{100}=a_1+a_2+\cdots+a_{100}.$$
Voor hoeveel zo'n permutaties zal geen enkele $s_i$ deelbaar zijn door 3?

Vraag 3

Zij $A=(a_1,a_2,...,a_{2000}$ een rij van natuurlijke getallen die allemaal uit het interval $[-1000,1000]$ komen. Als de som van alle elementen uit $A$ 1 is, toon dan aan dat er een niet-lege deelverzameling van $A$ bestaat waarvan de som der elementen 0 is.

Vraag 4

Zij $ABCD$ een convexe vierhoek met
$$\angle CBD=2\angle ADB,$$
$$\angle ABD=2\angle CDB,$$
$$AB=CB.$$
Bewijs dat $AD=CD$.

Vraag 5

Veronderstel dat de reële getallen $a_1,a_2,...,a_{100}$ voldoen aan
$$a_1\geq a_2\geq\cdots\geq a_{100}\geq0,$$
$$a_1+a_2\leq100,$$
$$a_3+a_4+\cdots+a_{100}\leq100.$$
Bepaal de maximumwaarde van $a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{100}^2$ en vind alle mogelijke rijen $a_1,a_2,...,a_{100}$ die deze waarde bereiken.