CanMO 1996

Vraag 1 Opgelost!

Als $\alpha,\beta,\gamma$ de wortels zijn van de vergelijking $x^3-x-1=0$, evalueer dan
$$\frac{1+\alpha}{1-\alpha}+\frac{1+\beta}{1-\beta}+\frac{1+\gamma} {1-\gamma}.$$

Vraag 2 Opgelost!

Vind alle reële oplossingen van het volgend stelsel van vergelijkingen. Verantwoord ook je antwoord.
$$\left\{
\begin{array}{lll}
\frac{4x^2}{1+4x^2}=y\\
\frac{4y^2}{1+4y^2}=z\\
\frac{4z^2}{1+4z^2}=x\\
\end{array}$$

Vraag 3

We noteren een willekeurige permutatie van de natuurlijke getallen $1,2,...,n$ door $a_1,a_2,...,a_n$. Zij $f(n)$ het aantal dergelijke permutaties zodat
(i) $a_1=1;$
(ii) $|a_i-a_{i+1}|\leq2,\ i=1,2,...,n-1$.
Bepaal of $f(1996)$ al dan niet deelbaar is door 3.

Vraag 4

Zij $ABC$ een driehoek met $AB=AC$. Veronderstel dat de bissectrice van de hoek $B$ de zijde $AC$ snijdt in $D$ en dat $BC=BD+AD$. Bepaal de grootte van de hoek $A$.

Vraag 5

Zij $r_1,r_2,...,r_m$ een gegeven verzameling van $m$ reële positieve getallen zodat $\sum_{k=1}^mr_k=1$. Definieer de functie $f$ door $f(n)=n-\sum_{k=1}^m\lfloor r_kn\rfloor$ voor ieder natuurlijk getal $n$. Bepaal de minimum- en maximumwaarde van $f(n)$.