stelsel

Doordat x reëel is, zal $ \frac {4x^2}{1 + 4x^2} $ altijd positief zijn (kwadraten zijn altijd positief). Hetzelfde geldt nu ook voor $ \frac {4y^2}{1 + 4y^2} $ en $ \frac {4z^2}{1 + 4z^2} $. Daaruit volgt dat $x,y,z>0$.
Nu, als x,y,z niet gelijk zijn aan elkaar, en we stellen dat x het grootste getal is, $x>y,z$.
Dan is $ \frac {4z^2}{1 + 4z^2} > \frac {4x^2}{1 + 4x^2} $.
$\Leftrightarrow 4z^2 * {1+4x} > 4x^2 * {1+4z^2} $ (tekens veranderen niet omdat x,z positief zijn)
$\Leftrightarrow z^2 * (1+4x^2) > x^2 * (1+4z^2) $
$\Leftrightarrow z^2 + {4x^2}{z^2} > x^2 + {4x^2}{z^2} $
$\Leftrightarrow z^2 > x^2 $ $\Leftrightarrow z > x $
Als we hetzelfde doen met x en z, en y en z, zien we dus dat het niet kan dat x,y,z 3 verschillende getallen zijn. Hieruit volgt dat $ x=y=z $.
Als we nu in $ \frac {4z^2}{1 + 4z^2} = x $ z overal vervangen door x, dan krijgen we $ \frac {4x^2}{1 + 4x^2} = x $.
$\Leftrightarrow 4x^2 = x + 4x^3 $.
$\Leftrightarrow 4x^3-4x^2+x=0 $.
$\Leftrightarrow x*(4x^2-4x+1)=0 $.
$\Leftrightarrow x*(2x-1)^2=0 $.
$\Leftrightarrow x=0$ of $x=\frac {1}{2} $.
De mogelijke oplossingen zijn $(0,0,0)$ of $(0,5;0,5;0,5).$