vergelijking
Opgave - CanMO 1996 vraag 1
Als $\alpha,\beta,\gamma$ de wortels zijn van de vergelijking $x^3-x-1=0$, evalueer dan
$$\frac{1+\alpha}{1-\alpha}+\frac{1+\beta}{1-\beta}+\frac{1+\gamma} {1-\gamma}.$$
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 1 gast online.
Oplossing
Definieer $f(x)=x^3-x-1=(x-a)(x-b)(x-c)$ (lees $a,b,c=\alpha,\beta,\gamma$)
Viéta geeft ons cadeau dat $abc=1$, $ab+bc+ac=-1$ en $a+b+c=0$
De uitdrukking op zelfde noemer zetten geeft ons als noemer $f(1)$, wat gelijk is aan $-1$. Dus dat wordt
$-\sum_{cyc}(1+a)(1-b)(1-c)$
$=-\sum_{cyc}(1+a-b-c-ab-ac+bc+abc)$
$=-\sum_{cyc}(3+2a+2bc)$ (viéta)
$=-(9+2(a+b+c)+2(ab+bc+ac)$
$=-7$