CanMO 1995
Vraag 1 Opgelost!
Zij $f(x)=\frac{9^x}{9^x+3}$. Evalueer de som
$$f\left(\frac1{1996}\right)+f\left(\frac2{1996}\right)+\cdots+f\left(\frac{1995}{1996}\right).$$
Vraag 2 Opgelost!
Zij $a,b,c$ drie positieve reële getallen. Bewijs dan dat
$$a^ab^bc^c\geq(abc)^{\frac{a+b+c}3}.$$
Vraag 3
Definieer een boomerang als een concave vierhoek waarvan de overstaande zijden elkaar niet snijden waarvan één hoek groter is dan $180^\circ$ (zie figuur). Zij $C$ een convexe veelhoek met $s$ zijden. Veronderstel dat het binnenste gebied van $C$ de unie is van $q$ vierhoeken die elkaar niet overlappen. Veronderstel ook dat $b$ van deze vierhoeken boomerangs zijn. Toon aan dat $q\geq b+\frac{s-2}2$.
Vraag 4
Zij $n$ een vast natuurlijk getal. Toon aan dat voor enkel natuurlijke getallen $k$, de diophantische vergelijking
$$x_1^3+x_2^3+\cdots+x_n^3=y^{3k+2}$$
oneindig veel oplossingen heeft in natuurlijke getallen $x_i$ en $y$.
Vraag 5
Veronderstel dat $u$ een reële parameter is met $0
\begin{array}{ll}
0\text{ als }0\leq x\leq u\\
1-\left(\sqrt{ux}+\sqrt{(1-u)(1-x)}\right)^2\text{ als }u\leq x\leq 1
\end{array}$$
en definieer de rij $\{u_n\}$ recursief als volgt:
$$u_1=f(1),\text{ en }u_n=f(u_{n-1})\text{ voor alle }n>1.$$
Toon aan dat er een natuurlijk getal $k$ bestaat zodat $u_k=0$.
