ongelijkheid
Opgave - CanMO 1995 vraag 2
Zij $a,b,c$ drie positieve reële getallen. Bewijs dan dat
$$a^ab^bc^c\geq(abc)^{\frac{a+b+c}3}.$$
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 1 gast online.
Oplossing
Neem logaritmes van beide leden:
$a\log{a}+b\log{b}+c\log{c}\ge \frac{a+b+c}{3}\left( \log{a}+\log{b}+\log{c}\right)$
Het is duidelijk dat $(\frac{a}{3},\frac{a}{3},\frac{a}{3},\frac{b}{3},\frac{b}{3},\frac{b}{3},\frac{c}{3},\frac{c}{3},\frac{c}{3})$ en $3*(\frac{\log{a}}{3},\frac{\log{a}}{3},\frac{\log{a}}{3},\frac{\log{b}}{3},\frac{\log{b}}{3},\frac{\log{b}}{3},\frac{\log{c}}{3},\frac{\log{c}}{3},\frac{\log{c}}{3},)$ gelijk gesorteerd zijn. Het resultaat volgt uit de orde-ongelijkheid.