CanMO 1994

Vraag 1

Evalueer de som
$$\sum_{n=1}^{1994}(-1)^n\frac{n^2+n+1}{n!}.$$

Vraag 2

Toon aan dat iedere natuurlijke macht van $\sqrt2-1$ kan geschreven worden in de vorm $\sqrt m-\sqrt{m-1}$ voor een zeker natuurlijk getal $m$. Bijvoorbeeld, $(\sqrt2-1)^2=3-2\sqrt2=\sqrt9-\sqrt8$.

Vraag 3 Opgelost!

25 personen zitten aan een ronde tafel. Ieder uur is er een stemming, en ieder persoon moet ja of nee antwoorden. Iedereen gedraagt zich als volgt: op de $n^e$ stemming, als zijn antwoord hetzelfde is het antwoord van op zijn minst één van de twee personen waar hij tussen zit, dan zal hij hetzelfde antwoorden op de $n+1^e$ stemming als op de $n^e$ stemming. Maar als zijn antwoord verschillend is van dat van zijn beide buren, dan verandert hij van antwoord bij de volgende beurt. Bewijs dat, ongeacht de antwoorden van de eerste stemming, vanaf een bepaald ogenblik niemand zijn stem meer zal veranderen.

Vraag 4

Zij $AB$ een diameter van cirkel $\Omega$ en $P$ een willekeurig punt niet op de rechte $AB$. Veronderstel dat $PA$ $\Omega$ opnieuw snijdt in $U$ en $PB$ $\Omega$ in $V$. (Merk op dat in het geval $PA$ of $PB$ raakt aan de cirkel, dan $U=A$ of $V=B$. Ook, als $P$ op de omtrek ligt, $P=U=V$.) Veronderstel dat $|PU|=s|PA|$ en $|PV|=t|PB|$ voor een zekere positieve reële $s$ en $t$. Bepaal de cosinus van de hoek $APB$ in termen van $s$ en $t$.

Vraag 5

Zij $ABC$ een scherphoekige driehoek. Zij $AD$ de hoogte op $BC$, en zij $H$ een punt op het lijnstuk $AD$. De rechten $BH$ en $AC$ snijden in $E$, de rechten $CH$ en $AB$ snijden in $F$. Bewijs dat $\angle EDH=\angle FDH$.