CanMO 1992

Vraag 1 Opgelost!

Bewijs dat het product van de eerste $n$ natuurlijke getallen deelbaar is door de som van de eerste $n$ natuurlijke getallen als en slechts als $n+1$ geen oneven priemgetal is.

Vraag 2

Als $x,y,z\geq0$, bewijs dat
$$x(x-z)^2+y(y-z)^2\geq(x-z)(y-z)(x+y-z)$$
en bepaal wanneer de gelijkheid opgaat.

Vraag 3

In het diagram is $ABCD$ een vierkant met $U, V$ op de zijden $AB$ en $CD$ respectievelijk. Bepaal alle mogelijke manieren om de positie van $U$ en $V$ te bepalen zodat de oppervlakte van de parallellogram $PUQV$ minimaal is.

Vraag 4 Opgelost!

Los op in $\mathbb{R}$:
$$x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}=3.$$

Vraag 5

Een deck van $2n+1$ kaarten bestaat uit een joker en, voor elk getal van 1 tot en met $n$, twee kaarten met het desbetreffende getal op. De $2n+1$ kaarten worden op een rij gelegd, met de joker in het midden. Voor iedere $k$ met $1\leq k\leq n$, hebben de twee kaarten gemarkeerd met $k$ precies $k-1$ kaarten tussen hen. Bepaal alle waarden van $n$ niet groter dan 10, voor dewelke deze schikking mogelijk is. Voor welke waarden van $n$ is het onmogelijk?