vergelijking

Tags:

CanMO
Algebra & analyse
vergelijking

Opgave - CanMO 1992 vraag 4

Los op in $\mathbb{R}$ :

$x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}=3.$

Oplossing inzenden

Oplossing

Ingediend door Juan

voer volgende substitutie uit: $x+1=t$ zodat de uitdrukking na enig omvormen van de aard wordt:
$t^4-2t^3-t^2-2t+1\\=t^4-3t^3+t^3-3t^2+2t^2+t-3t+1\\=t^2(t^2-3t+t)+t(t^2-3t+t)+(t^2-3t+t)\\=(t^2-3t+1)(t^2+t+1)$

heeft reële wortels $\begin{cases}t=\frac{3+\sqrt5}{2}\\t=\frac{3-\sqrt5}{2}\end{cases}$
en dus $\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt5}{2}\\x=\frac{1-\sqrt5}{2}\end{cases}$

Nederlandstalig olympiadeproject

vergelijking

Opgave - CanMO 1992 vraag 4

Oplossing

Zoeken

Random generator

Niveau