oneven priemgetal

We moeten dus bewijzen dat
$\frac{n(n+1)}{2}|n!$ als $n+1$ geen oneven priemgetal is.
$n!$ moet dus deelbaar zijn door $n$ en $n+1$ en $\frac{1}{2}$

$n!$ is altijd deelbaar door $n$, en elk geheel getal is deelbaar door $\frac{1}{2}$ (want dat is hetzelfde als vermenigvuldigen met twee).

als $n+1$ een even priemgetal is, is het gewoon gelijk aan $2$, dus $n$ is dan gelijk aan $1$, waarbij de eigenschap klopt ($1|1!$)

als $n+1$ een oneven priemgetal is, is $n!$ niet deelbaar door $n+1$, want $n+1$ is geen factor van $n!$

als $n+1$ geen oneven priemgetal is, kan het dus verder ontbonden worden in priemfactoren, die (omdat $n+1$ geen priemgetal is) bijgevolg kleiner zijn dan zichzelf en $n$ (omdat voor $n=1$ al reeds bewezen is). Bijgevolg bevat $n!$ alle factoren van $n+1$, waarmee de eigenschap bewezen is.
In dit geval schrijven we $n+1=ab$ met $1 < a$ , $b < n + 1$

Als $a$ of $b$ verschillend zijn, geldt dat $a,b$ verschillende getallen tussen $2$ en $n-1$ zijn, zodat $ab|(n-1)!.$
Indien $a=b$ geldt:
* $a,2a < a^2-1 = n$ en dus $2a^2^|(n-1)! $ als $a\ge 3$
* Voor $a=2$ hadden we dat $n=3$ en $6|3!$ wat idd waar is.