CanMO 1989

Vraag 1 Opgelost!

De natuurlijke getallen $1,2,...,n$ worden op gerangschikt zodat iedere waarde ofwel strikt groter is dan alle vorige waarden, ofwel strikt kleiner is dan alle vorige waarden. Op hoeveel manieren kan die gedaan worden?

Vraag 2 Opgelost!

Zij $ABC$ een rechthoekige driehoek met oppervlakte 1. Zij $A'B'C'$ de driehoek die bekomen wordt door de hoekpunten van $ABC$ te spiegelen rond hun tegenoverliggende zijde. Vind de oppervlakte van driehoek $A'B'C'$.

Vraag 3 Opgelost!

Definieer $\{a_n\}_{n=1}$ als volgt: $a_1=1989^{1989};\ a_n,n>1,$ is de som van alle cijfers van $a_{n-1}$. Wat is de waarde van $a_5$?

Vraag 4 Opgelost!

Er zijn 5 aapjes en 5 ladders en bovenaan iedere ladder bevindt zich een banaan. Een aantal touwen verbindt de ladders, ieder touw verbindt precies twee ladders. Geen twee touwen zijn vastgemaakt aan dezelfde trede van dezelfde ladder. Ieder aapje start onderaan een verschillende ladder. De aapjes beginnen te klimmen, en iedere keer ze een touw tegenkomen, gaan ze via dat touw naar de andere ladder en klimmen daar weer verder naar boven. Toon aan dat, ongeacht het aantal touwen of plaatsen van de touwen, ieder aapje een banaan krijgt.

Vraag 5

Gegeven de getallen $1,2,2^2,...,2^{n-1}$. Voor een specifieke permutatie $\sigma=X_1,X_2,...,X_n$ van deze getallen definiëren we $S_1(\sigma)=X_1,S_2(\sigma)=X_1+X_2,S_3(\sigma)=X_1+X_2+X_3,$ etc. Zij $Q(\sigma)=S_1(\sigma)S_2(\sigma)\cdots S_n(\sigma)$, evalueer dan $\sum1/Q(\sigma)$ waar de som genomen wordt over alle mogelijke permuaties.