oppervlakte
Opgave - CanMO 1989 vraag 2
Zij $ABC$ een rechthoekige driehoek met oppervlakte 1. Zij $A'B'C'$ de driehoek die bekomen wordt door de hoekpunten van $ABC$ te spiegelen rond hun tegenoverliggende zijde. Vind de oppervlakte van driehoek $A'B'C'$.
- login om te reageren
Oplossing
We nemen $C$ als de rechte hoek. Door te spiegelen is $|AC|=|A'C|,|BC|=|B'C|$ en $\angle{A'CB'}=90\°$. Hieruit volgt dat $\triangle{A'B'C}\cong\triangle{ABC}$ $(ZHZ)$ $\Rightarrow|A'B'|=|AB|$
We noemen $D$ en $D'$ het snijpunt van $CC'$ met $AB$ en $A'B'$ resp.
We weten dat $|CD|=|C'D|$ (spiegeling) en $|CD|=|CD'|$ (rotatie / puntspiegeling).
Merk op dat $CD' \perp A'B'$ nu ook volgt en $D,C,C',D'$ allen op $1$ rechte liggen.
In $\triangle{ABC}$: $opp. \triangle = 1 = \frac{b*h}{2} = \frac{|AB|*|CD|}{2}$, dus $|CD|=\frac{2}{|AB|}=|C'D|=|CD'|$.
In $\triangle{A'B'C'}$: $opp. \triangle=\frac{b*h}{2}=\frac{|A'B'|*|C'D'|}{2}=\frac{|AB|*3*\frac{2}{|AB|}}{2}=3$